混合运算专业大学排名 普林斯顿大学年自然科学研究专业介绍（一）

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小学四则混合运算怎么算

360÷[（12＋6）×5]
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500×6-(50×2-80)
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178-145÷5×6+42
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85+14×（14+208÷26）
（284+16）×（512-8208÷18）
120-36×4÷18+35
（58+37）÷（64-9×5）
(6.8-6.8×0.55)÷8.5
0.12× 4.8÷0.12×4.8
（3.2×1.5+2.5）÷1.6
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12×6÷7.2-6
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420+580-64×21÷28
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276+228+353+219
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1235－（1780－1665）
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回答于 2021-05-28
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摘自： 360÷[（12＋6）×5] 288÷[（26－14）×8] 500×6-(50×2-80) （105×12－635）÷25 864÷[（27－23）×12] （45＋38－16）×24 500－（240＋38×6） [64－（87－42）] ×15 （845－15×3）÷1612×[（49－28）÷7] 450÷[（84－48] ）÷12 （58+37）÷（64-9×5） 95÷（64-45） 178-145÷5×6+42 812-700÷（9+31×11） 85+14×（14+208÷26） （284+16）×（512-8208÷18） 120-36×4÷18+35 （58+37）÷（64-9×5） (6.8-6.8×0.55)÷8.5 0.12× 4.8÷0.12×4.8 （3.2×1.5+2.5）÷1.6 6-1.6÷4= 5.38+7.85-5.37= 7.2÷0.8-1.2×5= 6-1.19×3-0.43= 6.5×（4.8-1.2×4）= 5.8×（3.87-0.13）+4.2×3.74 32.52-（6+9.728÷3.2）×2.5 [（7.1-5.6）×0.9-1.15] ÷2.5 5.4÷[2.6×（3.7-2.9）+0.62] 12×6÷（12-7.2）-6 12×6÷7.2-6 0.68×1.9+0.32×1.9 （58+370）÷（64-45） 420+580-64×21÷28 （136+64）×（65-345÷23） 48.10.15-10.75×0.4-5.7 388+(5000-1000) 158+262+138 375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286 3065－738－1065 899+344 2357－183－317－357 2365－1086－214 497－299 2370+1995 3999+498 1883－398 12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 58×98 178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120 30100÷2100 32000÷400 49700÷700 1248÷24 3150÷15 4800÷25 2356－（1356－721） 1235－（1780－1665） 75×27+19×2 5 31×870+13×310 4×(25×65+25×28) （181+2564）+2719 378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99755－(2187+755) 2214+638+286 3065－738－1065 899+344 2357－183－317－357 2365－1086－214 497－299 2370+1995 3999+498 1883－398 12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 58×98 178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120 30100÷2100 32000÷400 49700÷700 1248÷24 3150÷15 4800÷25 21500÷125 2356－（1356－721） 1235－（1780－1665） 75×27+19×25 31×870+13×310 4×(25×65+25×28)
匿名用户
回答于 2013-06-01
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500道小学四年级脱式计算，急需！
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小学四年级上册脱式计算（要有答案）
（147+53）÷（5×40-100）
万飞珍5
回答于 2017-02-15
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500道五年级脱式计算
34.52－17.87－12.23 6.43-（1.4-0.57）23.75－8.64－3.46 17.83－9.5－7.83－0.5 5.38+88.2-2.38+1.827.38－5.34＋2.62－4.66 21.63－（8.5＋9.63） 7.5－2.45＋7.5＋2.450.9＋0.99＋0.999 5.09－(0.09＋1.23) 9.36－(4.36－3.5)609-708+306-108+202-198+497-100 14+15+16+……+45+469999+9998+9997+9996 99999×26+33333×2219175÷59＋678 36.5×1.4－8.51÷3.7 1.3－3.79＋9.7－6.21 8×0.4×12.5×2.5 125×（8＋0.8＋0.08） 35 ÷〔78 －（25 ＋38 ）〕1.7＋150 ＋3.98 17.625－(4.4＋58 ) 3.35×6.4×2＋6.7×3.618.7-3.375-6.625 2.5×4.4 25×1.25×32 （3.75＋4.1＋2.35）×9.81.28+9.8+7.72+10.2 12 ×1120 +12 ×2049.125*3+125*5+25*3+25 2.9999*3+101*11*(101-92) 3.(23/4-3/4)*(3*6+2) 4. 3/7 × 49/9 - 4/3 5. 8/9 × 15/36 + 1/27 6. 12× 5/6 – 2/9 ×3 7. 8× 5/4 + 1/4 8. 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 9. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 10. 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 4/9×3= 5÷1/3 = 1/2÷1/3 = 21/25÷42= 4/5×3/4 = 8.7×0.2= 4×0.25= 1/7×14= 2/3÷5/6= 1.25×8= 3/5÷5/8= 6/7×3/2= 6×8.8= 4/11÷4= 4/9×3/8= 5/3÷5= 0÷8/3= 4/7－2/3= 2/7×2＝ 41/12×4= 4÷3/16= 12÷9/4= 75/8 ÷5= 12×16/9＝ 2/3×3＝ 8÷9/4 ＝ 5/3÷3/5 ＝ 4/5×5/8＝ 7/9×9/7＝ 2.64＋3.6= 2.4×50= 3500÷70= 2050－298= 2＋7÷9= 0.3÷3%= 286+198＝ 314-202＝ 526+301＝ 223-99＝ 1/2×3/5＝ 1. 89÷100= 0.82+0.08= 73×1= 0.63×10= 4÷10= 17÷1000= 0.56+0.4= 1.25×100= 5.6+99= 43×63/21＝ 100÷25= 1-0.93= 90-0.9= 18.3×1/3＝ 794－198= 68×25= 43.3-63/21 ＝ 72×125= 3001-1998＝ 23/5×5/6 ＝ 20/3×12＝ 1/2-1/6＝ 30.25×4/5＝ 5/6-1/2＝ 1/2×1/5＝11. 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 12. 9 × 5/6 + 5/6 13. 3/4 × 8/9 - 1/3 14. 7 × 5/49 + 3/14 15. 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 16. 8 × 4/5 + 8 × 11/5 17. 31 × 5/6 – 5/6 18. 9/7 - （ 2/7 – 10/21 ） 19. 5/9 × 18 – 14 × 2/7 20. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 21. 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15 22. 17/32 – 3/4 × 9/24 23. 3 × 2/9 + 1/3 24. 5/7 × 3/25 + 3/7 25. 3/14 ×× 2/3 + 1/6 26. 1/5 × 2/3 + 5/6 27. 9/22 + 1/11 ÷ 1/2 28. 5/3 × 11/5 + 4/3 29. 45 × 2/3 + 1/3 × 15 30. 7/19 + 12/19 × 5/6 31. 1/4 + 3/4 ÷ 2/3 32. 8/7 × 21/16 + 1/2 33. 101 × 1/5 – 1/5 × 21 34.50＋160÷40 35.120-144÷18+35 36.347+45×2-4160÷52 37（58+37）÷（64-9×5） 38.95÷（64-45） 39.178-145÷5×6+42 40.812-700÷（9+31×11） 1. 3/7 × 49/9 - 4/3 2. 8/9 × 15/36 + 1/27 3. 12× 5/6 – 2/9 ×3 4. 8× 5/4 + 1/4 5. 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 6. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 7. 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 8. 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9. 9 × 5/6 + 5/6 10. 3/4 × 8/9 - 1/3 11. 7 × 5/49 + 3/14 12. 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 13. 8 × 4/5 + 8 × 11/5 14. 31 × 5/6 – 5/6 15. 9/7 - （ 2/7 – 10/21 ） 16. 5/9 × 18 – 14 × 2/7 17. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 18. 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15 19. 17/32 – 3/4 × 9/24 20. 3 × 2/9 + 1/3 21. 5/7 × 3/25 + 3/7 22. 3/14 ×× 2/3 + 1/6 23. 1/5 × 2/3 + 5/6 24. 9/22 + 1/11 ÷ 1/2 25. 5/3 × 11/5 + 4/3 26. 45 × 2/3 + 1/3 × 15 27. 7/19 + 12/19 × 5/6 28. 1/4 + 3/4 ÷ 2/3 29. 8/7 × 21/16 + 1/2 30. 101 × 1/5 – 1/5 × 21 31. 50＋160÷40 （58+370）÷（64-45） 32. 120-144÷18+35 33. 347+45×2-4160÷52 34 （58+37）÷（64-9×5） 35. 95÷（64-45） 36. 178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28 37. 812-700÷（9+31×11） 38. 85+14×（14+208÷26） 39.（284+16）×（512-8208÷18） 40. 120-36×4÷18+35 41.（58+37）÷（64-9×5） 42. ( 6.8-6.8×0.55)÷8.5 43. 0.12× 4.8÷0.12×4.8 44.（3.2×1.5+2.5）÷1.6 45. 6-1.6÷4= 5.38+7.85-5.37 46. 7.2÷0.8-1.2×5 47. 6.5×（4.8-1.2×4） 48. 1 0.15-10.75×0.4-5.7 49. 5.8×（3.87-0.13）+4.2×3.74 50. 32.52-（6+9.728÷3.2）×2.554.5.4÷[2.6×（3.7-2.9）+0.62] 55.12×6÷（12-7.2）-6 56.12×6÷7.2-6 57.0.68×1.9+0.32×1.9 58.58+370）÷（64-45） 59.420+580-64×21÷28 60.136+6×（65-345÷23） 15-10.75×0.4-5.7 62.18.1＋（3－0.299÷0.23）×1 63.(6.8-6.8×0.55)÷8.5 64.0.12× 4.8÷0.12×4.8 65.（3.2×1.5+2.5）÷1.6 66.3.2×6+（1.5+2.5）÷1.6 67.0.68×1.9+0.32×1.9 68.10.15-10.75×0.4-5.7 69.5.8×（3.87-0.13）+4.2×3.74 70.32.52-（6+9.728÷3.2）×2.5 71.[（7.1-5.6）×0.9-1.15] ÷2.5 72.5.4÷[2.6×（3.7-2.9）+0.62] 73.12×6÷（12-7.2）-6 74.12×6÷7.2-6 75.33.02－（148.4－90.85）÷2.5 1) 76.(25%-695%-12%)*36 77./4*3/5+3/4*2/5 78.1-1/4+8/9/7/9 79.+1/6/3/24+2/21 80./15*3/5 81.3/4/9/10-1/6 82./3+1/2)/5/6-1/3]/1/7 83./5+3/5/2+3/4 84.(2-2/3/1/2)]*2/5 85.+5268.32-2569 86.3+456-52*8 87.5%+6325 88./2+1/3+1/4 2) 89+456-78 3) 5%+. 3/7 × 49/9 - 4/3 4) 9 × 15/36 + 1/27 5) 2× 5/6 – 2/9 ×3 6) 3× 5/4 + 1/4 7) 94÷ 3/8 – 3/8 ÷6 8) 95/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 9) 6/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 10) 8 + （ 1/8 + 1/9 ） 11) 8 × 5/6 + 5/6 12) 1/4 × 8/9 - 1/3 13) 10 × 5/49 + 3/14 14) 1.5 ×（ 1/2 + 2/3 ） 15) 2／9 × 4/5 + 8 × 11/5 16) 3.1 × 5/6 – 5/6 17) 4/7 - （ 2/7 – 10/21 ） 18) 19 × 18 – 14 × 2/7 19) 5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 20) 4 × 8/7 – 5/6 × 12/15 21) 7/32 – 3/4 × 9/24 22) 1、 2/3÷1/2－1/4×2/5 2、 2－6/13÷9/26－2/3 3、 2/9＋1/2÷4/5＋3/8 4、 10÷5/9＋1/6×4 5、 1/2×2/5＋9/10÷9/20 6、 5/9×3/10＋2/7÷2/5 7、 1/2＋1/4×4/5－1/8 8、 3/4×5/7×4/3－1/2 9、 23－8/9×1/27÷1/27 10、 8×5/6＋2/5÷4 11、 1/2＋3/4×5/12×4/5 12、 8/9×3/4－3/8÷3/4 13、 5/8÷5/4＋3/23÷9/11 23) 1.2×2.5+0.8×2.5 24) 8.9×1.25-0.9×1.25 25) 12.5×7.4×0.8 26) 9.9×6.4-（2.5+0.24）（27） 6.5×9.5+6.5×0.5 0.35×1.6+0.35×3.4 0.25×8.6×4 6.72-3.28-1.72 0.45+6.37+4.55 5.4+6.9×3-（25-2.5）2×41846-620-380 4.8×46+4.8×54 0.8+0.8×2.5 1.25×3.6×8×2.5-12.5×2.4 28×12.5-12.5×20 23.65-（3.07+3.65） （4+0.4×0.25）8×7×1.25 1.65×99+1.65 27.85-（7.85+3.4） 48×1.25+50×1.25×0.2×8 7.8×9.9+0.78 (1010+309+4+681+6）×12 3×9146×782×6×854 5.15×7/8+6.1-0.60625 1. 3/7 × 49/9 - 4/3 2. 8/9 × 15/36 + 1/27 3. 12× 5/6 – 2/9 ×3 4. 8× 5/4 + 1/4 5. 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 6. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 7. 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 8. 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9. 9 × 5/6 + 5/6 10. 3/4 × 8/9 - 1/3 11. 7 × 5/49 + 3/14 12. 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 13. 8 × 4/5 + 8 × 11/5 14. 31 × 5/6 – 5/6 15. 9/7 - （ 2

小数的混合运算

小数的混合运算如下：

没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

课程简介

这部分内容是带中括号的小数四则混合运算。在这之前学生已有了整数四则混合运算的知识，对小数也有了的初步知识，会进行小数的加、减、乘法的计算，本单元又学习了小数除法，因此这部分既是新知也是小数运算知识的结束。小数的混合运算。

设计思路

首先回顾什么是四则运算，四则混合运算的算式，以及四则混合运算的顺序，通过整数四则混合运算的顺序，引导孩子思考小数混合运算的顺序。之后通过一个例题得出：小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。

再次认识中括号，并掌握含有小括号和中括号的算式的计算过程，同时进一步熟练小数混合运算的顺序。最后通过谈收获和课下巩固，使得知识再次提升。

1、让孩子了解学习数学的重要性

其实数学不但不可怕，而且很有趣!俗话说：学好数理化，走遍天下都不怕。更何况，未来是人工智能时代，是算法时代，是大数据时代，而这些最底层的知识，其实都是数学。所以对这些将来要进入这个时代的孩子来说，学好数学非常非常的重要。

2、加强培养孩子的数学能力与数学素养，是系列的长期活动

数学能力和数学素养离不开数学内容。数学这门学科如今已经太广博、太复杂、也太专业化了，即使是中小学数学的教学内容也是极其丰富的。怎么更好的教孩子学数学，循序渐进，家长千万不能着急，基础打好之后，后面的学习就容易多了。

3、数学能力与数学素养也离不开数学思维。

数学思维是分层次的，对不同年级的孩子的思维能力要求也是不一样的在小学阶段，学生应该掌握一定的运算法则。这个时期，记忆力起到了很重要的作用。但单靠记忆力，到了一定的学习阶段就不能解决问题了。

在初中阶段，数学能力表现为逻辑思维能力，包括分类、归纳、演绎等逻辑思维能力。所以，我们也就不难发现有些孩子小学数学很好，到了初中却不一定好，这是有原因的。

高中数学，对逻辑思维能力的要求更高，需要学生对数学理解更深刻，能整体把握问题。学习排列组合、概率统计是最难的，需要学生具备较好的整体把握能力和较高的思维严密性，立体几何、解析几何则需要空间想象能力。

普林斯顿大学年自然科学研究专业介绍（一）

普林斯顿大学的自然科学具体包括哪些内容呢?教学形式是怎样的呢?具体包括哪些课程呢?跟着来详细了解一下吧。

前言： 当我们的天体物理学家转向无限的宇宙时，我们著名的物理学家深入研究粒子世界。化学家和生物学家探索基因和微生物的内在运作。地球科学家揭开了地球形成和行为的方式，而生态学家和进化生物学家则扩展了我们对生命的理解。神经科学家研究大脑的复杂机制，因为我们的数学家以新的见解引领他们的领域。

一、应用与计算数学

本课程专为希望拓宽数学和计算技能并为数学学生提供机会发现自然科学和工程应用所带来的挑战的学生而设计。在研究生阶段，该课程为一组精选的高素质学生提供了获得科学和工程应用必不可少的数学分支的全面知识的机会，包括数值分析和其他计算方法。

1.工程，数学，物理综合导论

综合课程涵盖和的材料，重点是工程应用。数学学科包括：矢量微积分; 偏导数和矩阵; 线积分; 简单微分方程; 表面和体积积分; 和格林，斯托克斯和分歧定理。

2.数学

探讨重要的现代应用背后的一些数学思想，从银行和计算到听音乐。适用于不会大学数学并且不打算在数学领域专业的学生。该课程以独立的两周模块组织，重点关注特定应用，如条形码、CD播放器、人口模型和太空飞行。重点是思想和数学推理，而不是复杂的数学技巧。两个90分钟的课程，一个计算机实验室。

3.数学建模专题

数学建模专题从科学和工程中汲取问题，开发和分析数学模型以描述，理解和预测自然和人为现象。强调模型构建策略、分析和计算方法以及科学问题如何激发新数学。这门跨学科课程与分子生物学，心理学和神经科学课程合作，针对的是具有线性代数和微分方程知识的上层本科生和一年级研究生。

4.组合数学

组合数学是对离散对象的枚举和结构的研究。这些结构在数学中很普遍，包括几何、拓扑和代数以及计算机科学，物理和优化。本课程将介绍该领域的现代技术，以及它们与多面体，排列和超平面布置等对象的关系。

5.计算地球物理学 七七网

计算地球物理学介绍计算地球物理学中使用的弱数值方法。有限元和频谱元素、字段表示、正交、汇编、局部与全局网格、域分解、时间推进和稳定性，并行实现和消息传递以及负载平衡。使用数据同化技术和相关的“伴随”方法进行参数估计和“成像”。实验室提供了对复杂曲面和体积进行网格划分的经验，以及解决与地球物理相关的偏微分方程。先决条件：; 偏微分方程和基本编程技巧。两个90分钟的讲座。

6.信息传递与压缩

信息传递与压缩将介绍无损数据压缩算法、数字数据的调制/解调、纠错码、信道容量、模拟和数字源的有损压缩。三个小时的讲座。

7.工程分析的数学方法I

工程分析的数学方法I负责解决物理和工程问题的数学分析方法。学科包括功能分析介绍、Sturm-Liouville理论、格林函数解常微分方程和泊松方程以及变分计算。

8.工程分析的数学方法II

吕克德克线性常微分方程(一阶方程组，Frobenius方法、两点边值问题); 频谱和格林函数; 匹配渐近展开; 偏微分方程(分类、特征、唯一性、变量分离、变换方法、相似性)和格林函数的泊松、热和波动方程、适用于化学、土木和机械工程中的选定问题。

9.微分方程的分析技巧

线性和非线性微分方程解的局部分析。渐近方法、积分的渐近分析、微扰理论、求和方法、边界层理论、WKB理论和多尺度理论。先决条件：或同等学历。

10.工程分析的数学方法II

工程分析的数学方法II，分析方法和数值方法的补充表述。目标是赋予该学院所代表的研究领域常用的一套能力。标准计算包将在课程中提供，并且将分配设计以使用它们。

11.电子结构理论中的方法与概念

约翰A.基思该课程推导出原子之间化学键的形成方式和原因，从而产生分子和凝聚态物质。在优势、劣势和数值实施方面，讨论并比较了最先进的电子结构理论方法。学生将学习如何直接从简单的多电子波函数预测分子结构，电子分布的定性特征(杂交)和相对化学键强度。通过带理论引入凝聚态电子结构，然后分析现代密度泛函理论方法的优缺点。

12.低温电子显微镜的计算方法

阿米特辛格本课程重点介绍cryo-EM中的计算方法，包括三维ab-initio建模、结构细化、解决异构群体的结构变异性、粒子拾取、模型验证和分辨率确定。特别强调在许多其他数据科学应用中发挥重要作用的方法。这些包括统计推断，图像处理以及线性和非线性降维的关键要素。软件包RELION和ASPIRE通常用于模拟和公开可用的实验数据集的类演示。

13.海量数据集的数学分析

阿米特辛格本课程重点介绍用于分析大数据集的谱方法。谱方法涉及直接从数据构建矩阵(或线性算子)以及用于信息提取的一些前导特征向量和特征值的计算。例子包括奇异值分解和密切相关的主成分分析; Google的PageRank算法用于排名网站和使用图拉普拉斯算子的特征向量的谱聚类方法。

14.PDE简介

该课程是偏微分方程的基础入门研究生课程。学科包括：拉普拉斯算子、调和函数的性质、边值问题、波动方程、热方程、薛定谔方程、双曲守恒定律、Hamilton-Jacobi方程、Fokker-Planck方程、基本函数空间和不等式、二阶椭圆线性的正则性理论PDE、De Giorgi方法、基本谐波分析方法、线性演化方程、非线性PDE类的存在性、唯一性和规律性结果、应用于非线性和统计物理方程。

15.科学计算的数值算法

使用天体物理学的实例广泛介绍科学计算。从计算机科学，教学风格将提供包括处理器架构、并行系统、结构化编程和科学可视化在内的实用学科。数值分析的基本原理，包括误差源、稳定性和算法的收敛性。线性和非线性方程组、普通和偏微分方程技术的理论和实现将在恒星结构和演化，恒星和星系动力学以及宇宙学方面得到证明。

16.科学计算软件工程

本课程的目标是在科学计算的背景下教授编写优秀代码的基本工具和原则。具体学科包括相关编译和解释语言的概述、构建工具和源代码管理器、设计模式、接口设计、调试和测试、分析和改进性能、可移植性以及共享内存和分布式内存环境中的并行计算简介。重点是编写易于维护和与他人共享的代码。学生将通过一系列编程任务和小组课程来发展这些技能。

17.概率学科

拉蒙范汉德尔介绍在概率，统计学，计算机科学和数学中出现的高维随机结构的非渐近方法。重点是开发一套经证明在不同领域有用的通用工具。学科可能包括：措施集中; 功能，运输成本，鞅不等式;马尔可夫半群，混合时间，随机场; 超压缩; 门槛和影响; 斯坦的方法; 随机过程的至上; 高斯和拉德马赫不等式; 通用链接; 熵和组合维数; 选定的申请。

18.应用动力系统

相平面方法和单自由度非线性振荡器; 不变流形，局部和全局分析，结构稳定性和分叉，中心流形和正常形式; 平均和扰动方法，强迫振荡，同宿轨道和混沌;和梅尔尼科夫的方法，Smale马蹄形，象征动力学和奇怪的吸引力。隔年提供该课程。

19.组合优化的学科

保罗道格拉斯西摩本课程涵盖组合优化的当前学科。提供课程时会提供更具体的学科详细信息。

20.反问题

逆问题的概率公式和解; 处理先验概率和观测不确定性; 蒙特卡罗解决逆问题的方法; 大都市算法; 确定性解决方案(使用优化方法;最小二乘，最小绝对值); 涉及波形和时间序列的反问题。课程的第一部分用一组有限的参数处理离散逆问题; 第二部分涉及一般反问题，可能包含数据或未知数的函数。

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